NILAI OPTIMUM DARI SUATU FUNGSI OBYEKTIF PADA PROGRAM LINEAR

MATERI

NILAI OPTIMUM DARI SUATU FUNGSI OBYEKTIF

1. Fungsi Obyektif f (x, y) = ax + by

 yaitu suatu fungsi  yang akan ditentukan nilai maksimum atau minimumnya yang biasa juga disebut nilai optimum dari suatu permasalahan

2.  Menentukan Nilai Optimum

      Cara menentukan nilai optimum suatu fungsi obyektif ( sasaran) dari suatu program linear dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut  :

1. Rumuskan daerah peyelesaian tersebut dalam model matematika
2. Tentukan daerah penyelesaian (fleksibbel) dari sistem pertidaksamaan
3. Tentukan fungsi sasaran ( obyektif) yang diminta
4. Tentukan nilai optimum fungsi sasarannya
5. Berilah tafsiran jawaban dari permasalahan yang ada.

Contoh :

Kebun yang tersedia seluas 600 m²  akan ditanami 2 jenis tanaman yaitu tanaman tingkat rendah dan tanaman tingkat tinggi , dan  mampu menampung  58 tanaman Tiap tanaman tingkat rendah membutuhkan tempat 6 m² dan tanaman tingkat tinggi 24 m². Biaya menanan  tiap tanaman tingkat rendah Rp.1.000,00 dan tanaman tingkat tinggi          Rp. 1.500,00. Jika tanaman ditanam semua, tentukan biaya  maksimum dari banyaknya tanaman yangdi tanam tersebut:

Jawab:

1. Buat model matematika

Keterangan	Tempat	Jumlah tanaman	Biaya
tanaman tingkat rendah tanaman tingkat tinggi	6 m2 24 m2	x y	Rp. 1.000,00 Rp. 1.500,00
Kapasitas	≤ 600 m2	≤ 58

        

              Misalnya banyak tanaman tingkat rendah = x dan banyak tanaman tingkat tinggi = y, maka model matematika

(i).  6x + 24y ≤ 600

                 x +   4y ≤ 100

(ii)               x + y ≤ 58

x ≥ 0 :y ≥  0 dan x,y  c

fungsi persamaan : f(x,y) = 1000x + 1500y

a.       Penyelesaian dari sistem persamaan di atas dapat digambarkan pada daerah yang diarsir 

                                       

Menentukan titik B (x₁,y₁)

 Yaitu perpotongan garis x + y = 58  dan garis  x + 4y = 100 dengan cara substitusi, sbb :

                  x + y = 58  ........(1)       x =  58   y   substitusi ke (2)

x + 4y = 100 ......(2)

(58 – y ) + 4y  =  100

58  + 3y  = 100

                           3y  =  100 – 58

                           3y  =  42

                             y  =  14  ...........diperoleh  x = 44

maka titik potong kedua garis tersebut adalah  B ( 44 , 14 )

b.      Fungsi sasarannya (objektif) adalah

f(x,y) = 1000x + 1500y

dan  nilai optimumnya dapat dicari dari

Titik	F(x,y) = 1000x + 1500y
A (0,25) B (44,14) C (58, 0)	0 + 1500.25 = 37.000 1000.44 + 1500.14 = 79.000 1000.58 + 0 = 58.000

            Jadi nilai maksimum f(x,y)  adalah Rp. 79.000,00

c.       Jadi biaya menanam tanaman tersebut bisa mencapai hasil yang maksimal apabila banyak tanaman tingkat rendah 44 tanaman dan tanaman tingkat tinggi   14 tanaman